Arquitas de Tarento

Arquitas de Tarento (em grego antigo: Ἀρχύτας ο Ταραντίνος; 428 a.C. - 347 a.C.) foi um filósofo, cientista, estratega, estadista, matemático e astrónomo grego, considerado o mais ilustre dos matemáticos pitagóricos. Acredita-se ter sido discípulo de Filolau de Crotona e foi amigo de Platão. Fundou a mecânica matemática e influenciou Euclides. Foi o primeiro a usar o cubo em geometria e a restringir as matemáticas às disciplinas técnicas como a geometria, aritmética, astronomia e acústica. Embora inúmeras obras sobre mecânica e geometria lhe sejam atribuídas, restaram apenas fragmentos cuja preocupação central é a Matemática e a Música. Arquitas nasceu em Tarento, Magna Grécia (atual sul da Itália) e foi o filho de Mnesagoras ou Histieu. Por um tempo foi ensinado por Filolau, e foi professor de matemática de Eudoxo de Cnido. Menaecmo foi estudante de Arquitas e Eudoxo. Acredita-se que Arquitas seja o fundador da mecânica matemática. Como apenas foi descrito na obra de Aulus Gellius cinco séculos depois, ele tem a fama de ter projetado e construído o primeiro mecanismo voador artificial de auto-propulsão, um modelo em forma de pássado propulsionado provavelmente por um jato de vapor, que dizem ter realmente voado cerca de 200 metros . Esta máquina, que seu inventor chamou "O pombo", pode ter sido suspensa por um fio ou pivô para o seu vôo . Arquitas também escreveu algumas obras perdidas, já que foi incluído por Vitrúvio na lista dos doze autores de obras de mecânica . Thomas Winter sugeriu que os pseudo-aristotélicos "Problemas mecânicos" são um importante trabalho mecânico de Arquitas, não tendo sido perdidos mas apenas mal atribuidos . Arquitas cunhou o termo média harmónica, importante muito mais tarde na geometria projetiva e na teoria dos números, embora não a tivesse inventado . De acordo com Eutócio, Arquitas resolveu o problema da duplicação do cubo à sua maneira com uma construção geométrica . Antes dele, Hipócrates de Quíos reduziu este problema a encontrar médias proporcionais. A teoria das proporções de Arquitas é tratada no livro VIII de os Elementos de Euclides, onde se encontra a construção de duas médias proporcionais, equivalente à extração da raiz cúbica. De acordo com Diógenes Laércio, esta demonstração, que utiliza linhas geradas pelo movimento das figuras para construir os dois proporcionais entre as magnitudes, foi a primeiro em que a geometria foi estudada com os conceitos da mecânica.

Do céu

Página 1 da obra aristotélica Sobre o céu,
tirada de uma edição publicada em 1837

Sobre o céu ou Do céu (em latim: De Caelo ou De Caelo et Mundo) é o tratado cosmológico chefe de Aristóteles: ele contém toda a sua teoria astronômica. Não deve ser confundido com o trabalho espúrio Sobre o Universo (De mundo, também conhecido como Sobre o cosmos). Segundo Aristóteles, os corpos celestes são os objetos (ou substâncias) mais perfeitos que existem, cujos movimentos são regidos por princípios distintos daqueles válidos para os corpos na esfera sublunar. Estes últimos são compostos por um ou por todos os quatro elementos clássicos (terra, água, ar, fogo), que são deterioráveis, enquanto que a matéria celeste é constituída por éter inextinguível, por isso os corpos não estão sujeitos à geração e corrupção. Conseqüentemente, seus movimentos são eternos e perfeitos, e o movimento perfeito é o circular que, ao contrário dos movimentos terrestres, para cima e para baixo, por si só pode durar eternamente. As substâncias corpos celestes possuem matéria (éter) e forma: ao que parece, Aristóteles os considerava como seres vivos, com uma alma racional como forma (ver também Metafísica, livro XII).

Aristarco de Samos

Aristarco de Samos (em grego: Αρίσταρχος ο Σάμιος; 310 a.C. — 230 a.C.) foi um astrônomo e matemático grego, sendo o primeiro cientista1 a propor que a Terra gira em torno do Sol (sistema heliocêntrico) e que a Terra possui movimento de rotação . Por tal afirmação, foi acusado de impiedade por Cleanto, o Estóico . Apenas uma obra sua é conhecida: Sobre os tamanhos e distâncias entre o Sol e a Lua. Neste tratado, Aristarco realizou cálculos geométricos das dimensões e distâncias do Sol e da Lua.Também tentou determinar as distâncias e o tamanho do Sol e da Lua. Atualmente o seu nome é atribuído a uma cratera lunar. As suas conclusões sobre a organização do Sistema Solar, mesmo sendo simples, são admiradas ainda hoje pela sua coerência. Aristarco concluiu que o Sol estaria 20 vezes mais distante da Terra do que da Lua, mas, embora seja cerca de 400 vezes, o seu procedimento estava correto. Aristarco também procurou calcular o diâmetro da Lua em relação ao da Terra, baseando-se na sombra projetada pelo nosso planeta durante um eclipse lunar e concluiu que a Lua tinha um diâmetro três vezes menor que o da Terra, sendo que o valor correto é 3,7 vezes. Com esse dado, deduziu que o diâmetro solar era 20 vezes maior que o da Lua e cerca de 7 vezes maior que o da Terra. Também calculou, com mais precisão do que a dos antigos sábios, a duração de um ano solar. Embora obtivesse muitos erros em seus resultados, o problema estava mais nos instrumentos utilizados por ele do que nos seus métodos, que eram corretos. Aristarco tinha bom senso. Para ele, seria mais natural supor que um astro menor girasse em torno de um maior, que era uma opinião diferente da dos seus antecessores. Todavia, a afirmação heliocêntrica não aparece neste trabalho. Na verdade, ela é conhecida através de uma referência feita por Arquimedes no seu Arenarius. A teoria heliocêntrica só ganharia reconhecimento e validade mais de mil anos depois, com Copérnico. Plutarco menciona a evolução da medida do tamanho da Lua: segundo os egípcios, a Lua seria 1/72 menor que a Terra; segundo Anaxágoras, ela teria o tamanho do Peloponeso; mas segundo Aristarco, seu tamanho seria entre 19/60 e 43/108 do tamanho da Terra4 (usando o diâmetro conhecido da Terra, este intervalo corresponde a 4039 - 5079 km, um pouco maior que o valor real de 3475 km). Outra medida de Aristarco é de 18 a 20 vezes a razão entre a distância Terra - Sol para a distância Terra - Lua (a razão correta é cerca de 400).

Trigonometry

Sumerian astronomers studied angle measure, using a division of circles into 360 degrees. They and their successors, the Babylonians, studied the ratios of the sides of similar triangles and discovered some properties of these ratios, but did not turn that into a systematic method for finding sides and angles of triangles. The ancient Nubians used a similar method. The ancient Greeks transformed trigonometry into an ordered science. Classical Greek mathematicians (such as Euclid and Archimedes) studied the properties of chords and inscribed angles in circles, and proved theorems that are equivalent to modern trigonometric formulae, although they presented them geometrically rather than algebraically. Claudius Ptolemy expanded upon Hipparchus' Chords in a Circle in his Almagest. The modern sine function was first defined in the Surya Siddhanta, and its properties were further documented by the 5th century Indian mathematician and astronomer Aryabhata. These Greek and Indian works were translated and expanded by medieval Islamic mathematicians. By the 10th century, Islamic mathematicians were using all six trigonometric functions, had tabulated their values, and were applying them to problems in spherical geometry. At about the same time, Chinese mathematicians developed trigonometry independently, although it was not a major field of study for them. Knowledge of trigonometric functions and methods reached Europe via Latin translations of the works of Persian and Arabic astronomers such as Al Battani and Nasir al-Din al-Tusi. One of the earliest works on trigonometry by a European mathematician is De Triangulis by the 15th century German mathematician Regiomontanus. Trigonometry was still so little known in 16th century Europe that Nicolaus Copernicus devoted two chapters of De revolutionibus orbium coelestium to explain its basic concepts. Driven by the demands of navigation and the growing need for accurate maps of large geographic areas, trigonometry grew into a major branch of mathematics. Bartholomaeus Pitiscus was the first to use the word, publishing his Trigonometria in 1595. Gemma Frisius described for the first time the method of triangulation still used today in surveying. It was Leonhard Euler who fully incorporated complex numbers into trigonometry. The works of James Gregory in the 17th century and Colin Maclaurin in the 18th century were influential in the development of trigonometric series. Also in the 18th century, Brook Taylor defined the general Taylor series.